NEU-2001

Предлагаемый метод синтезирует результаты исследования трех современных научных направлений: теории нелинейных динамических систем, теории топологических вложений и нейронных искусственных сетей [1].

Пусть - наблюдаемый временной ряд, относительно которого предполагается, что он является Липшиц-непрерывной проекцией орбиты некоторой нелинейной диссипативной динамической системы f (y): M → M в фазовом пространстве M. Таким образом

x₁ = h (y₁), x₂ = h (y₂), x_N = h (y_N), где h (y): M → R, y_i Î M.

Если траектории динамической системы f (y) при t → ∞ заполняют аттрактор конечной размерности d, то можно реконструировать его копию как топологическое вложение ряда X в R^m, если m ≥ 2d + 1 [2]. Топологическое вложение определяется как взаимно однозначное, непрерывное, имеющее непрерывную обратную функцию отображение.

Для временного ряда X топологическое вложение F_f,t : M → R^m, строится по следующей схеме [2]:

, (1)

, где τ - параметр запаздывания. Поскольку F_f,h - гладкое и инвертируемое преобразование, можно определить отображение S:

,

которое моделирует в R^m фазовые точки, как последовательность z₁,z₂,...,z_N-(m-1)τ.

Размерность аттрактора d определялась одним из двух методов: методом корреляционного интеграла [3] или методом фальшивых соседей [4]. В первом случае, для последовательных пробных значений d = 2,3... из отсчетов ряда X по схеме (1) формируются d-мерные векторы, которые образуют кластер в R^d. Для оценки размерности используют число ε-близких пар векторов - корреляционный интеграл C_d(ε). Асимптотика C_d(ε) µ ε^d при ε → 0 позволяет определить корреляционную размерность d как наклон прямолинейного участка графика корреляционного интеграла, построенного в двойной логарифмической шкале, когда эта зависимость достигает насыщения.

Во втором случае, для последовательных значений пробной размерности оценивается доля фальшивых соседей при переходе от размерности d к d + 1. Фальшивые соседи определяются как вектора, расстояние между которыми в пространстве d + 1 во много раз превышает расстояние между соответствующими векторами в пространстве d.

Искомая размерность соответствует минимальной размерности вложения, при которой эта доля достаточно мала.

Теперь, прогноз временного ряда X сводится к поиску наилучшей к аппроксимации для нелинейного предиктора: i = N,N + 1,..., где m - размерность вложения. Строками таблицы для обучения нейронной искусственной сети, являются m-мерные вектора, построенные по значениям ряда X.

Описанный метод универсален в том смысле, что может быть применен к данным различной природы. Ограничения накладываются только на количество данных - длина временного ряда должна быть не менее 1 тыс. значений. Нами было выбрано несколько финансовых временных рядов, поскольку их поведение отличается особой сложностью и демонстрирует явно выраженные нелинейные свойства. Для получения прогноза использовался менеджер обучаемых искусственных сетей NeuroPro 0.25, разработанный в Институте вычислительного моделирования СО РАН.

На рисунке представлен прогноз временного ряда, представляющего курс евро к доллару (ежедневные значения с 15 декабря 1998 г. по 26 июня 2001 г.). Для тестирования использовались значения с 22 июня 2001 г. по 26 июня 2001 г., прогнозные значения – с 27 июня 2001 г. по 8 июля 2001 г., ошибка обучения ε = 0,015.

Литература:

1. Данилкина Е.Б., Куандыков Е.Б. и др.//“Нейроинформатика-2001”: Сб.науч.тр. Ч.2 М.: МИФИ, 2001. С.13-20.
2. Sauer T., Yorke J.A., Casdagli M. // J.Statist.Phys. 1991. V.65. P.579-616.
3. Ding M., Grebogi C. et al. //Physica. 1993. D69. P.404-424.
4. Kennel M.B., Brown R., Abarbanel H.D.I.// Phys. Rev. 1992. V.45. P.403-411.