NEU-2003

Известны трудности, встречающиеся при обработке сигналов с частотно-локальными свойствам. Примером являются сигналы, отражающие динамику турбулентных процессов, нелинейно взаимодействующих в широких диапазонах пространственных частот и временных локализаций. Для анализа подобных процессов в настоящее время широко используется вейвлет-преобразование, поскольку его элементы хорошо локализованы и обладают подвижным частотно-временным окном [1]. В основе вейвлет-анализа лежит представление сигналов в виде суперпозиции масштабных преобразований и сдвигов базисного вейвлета. Самоподобие сигналов при масштабных преобразованиях является характерным свойством фрактальных последовательностей, поэтому вейвлет преобразование можно считать одним из представителей фрактальных методов обработки данных. В настоящей работе предлагаются методы фрактальной фильтрации сигналов. В обобщенном понимании фильтрация это процедура, реализующая операторную проекцию сигнала, заданного в функциональном пространстве, в функциональное пространство меньшей размерности. В отличии от вейвлет-преобразования фрактальная фильтрация необратима и связана с потерей информации. Цель фрактальной фильтрации заключается в том, чтобы выявить пространственно распределенные свойства изучаемого объекта и получить локально высокочастотную и глобально крупномасштабную информацию об исследуемом объекте.

Фрактальная фильтрация дискретных сигналов. Рассмотрим сигнал, определенный функцией заданной на дискретном интервале , где - целое число, допускающее разложение в произведение целых (не обязательно простых). Представим аргумент функции в позиционной многоосновной системе счисления [2] с основаниями . Формулы перехода, как известно, имеют вид:
,
где - разрядные переменные. В результате данного преобразования сигнал представляется как многомерная функция . Каждый аргумент функции определяет некоторый масштабный срез сигнала. Зафиксируем все аргументы многомерной функции кроме . Варьируя свободный аргумент , получим выборку (с числом элементов ). Фрактальным фильтром частотной локализации m будем называть произвольный функционал , определенный на выборке . Операцию фрактальной фильтрации будем записывать в виде:

.

Если , то фильтр будем называть фильтром нижних фрактальностей, такой фильтр генерализует сигнал, сглаживая мелкие детали. Если , то фильтр назовем фильтром верхних фрактальностей, такой фильтр сохраняет детали и нивелирует трендовые изменения. Фильтр с можно назвать препарирующим. Любой фрактальный фильтр выполняет проекцию функционального пространства размерности N в подпространство размерности . Результат фильтрации удобно представлять на исходном интервале , полагая равными значения функции в точках интервала различающихся только по значению аргумента . Полученная функция может быть вновь подвержена фрактальной фильтрации в некоторой частотной локальности . Таким образом, реализуется принцип иерархической многомасштабной обработки данных.

Типы фрактальных фильтров.

а) Линейные фильтры - могут быть реализованы произвольными линейными функционалами. Примерами могут служить следующие типы:

Фильтр средних –

;

Унарный линейный фильтр –

, ;

Аффинный фильтр –

(аффинный фильтр только условно можно отнести к классу линейных).

б) Нелинейные фильтры. Нелинейный функционал можно задать в алгоритмическом или аналитическом виде. Примерами алгоритмически заданных функционалов являются ранговые фильтры. При ранговой фильтрации выборка ранжируется (число возможных рангов очевидно равно ). Значением функционала является выборочное значение, соответствующее рангу . Конкретными примерами могут служить следующие типы:

,

.

Примерами нелинейных фильтров с аналитически заданными функционалами являются нормирующие фильтры, для которых функционал определяется той или иной векторной нормой, конкретными примерами могут служить следующие типы:

Фильтр Евклида –

;

Фильтр Хэмминга –

.

В качестве нелинейного фильтра может быть использован также настраиваемый формальный нейрон Мак-Каллока-Питса:
,
где - функция активации, - веса синаптической карты.

с) Многомерные фрактальные фильтры. Многомерные фильтры реализуются функционалами, заданными на многомерной выборке. Например, двумерный фрактальный фильтр в общем случае может быть определен в виде:
.
Такой фильтр выполняет проекцию сигнала из пространства размерности N в пространство размерности .

Фрактальная фильтрация непрерывных сигналов. Пусть сигнал определен на непрерывном интервале U = [0, 1). Зададим множество оснований (в общем случае бесконечное) и представим аргумент функции в позиционной системе счисления в виде бесконечной дроби:
.
Непрерывный фрактальный фильтр частотной локализации m определяется функционалом:
.
В частности, фильтр верхних фрактальностей будет определяться функционалом:
,
а многомерный фильтр нижних фрактальностей - функционалом:
.
Выходная функция фильтра автоматически масштабируется в исходный интервал U = [0, 1).

Рассмотренные методы фрактальной фильтрациии являются адекватным инструментом многомасштабного анализа сложных сигналов. Эти же средства могут быть использованы для аппроксимации произвольных функций фрактальными последовательностями и параметрической настройки быстрых нейронных сетей [3].

1. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук.- T. 166.->№ 11.- 1145-1170с.

2. Трахтман А.М., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах.- М.: Сов. Радио, 1975.- 208с.

3. Дорогов А.Ю. Фракталы и нейронные сети // Проблемы нейрокибернетики (материалы Юбилейной международной конференции по нейрокибернетике посвященной 90-летию со дня рождения проф.А.Б.Когана 23-29 октября 2002г. Ростов-на-Дону). Том 2. Ростов-на-Дону.-2002.-с.9-14.