NEU-2003

В работе рассматривается задача численного моделирования сетей импульсных нейронов, основанных на дифференциальном уравнении с запаздыванием.

Рассматриваемая модель нейрона предложена в работах [1–2] в рамках волновой теории кодирования информации в мозге. Для мембранного потенциала нейрона u(t) > 0 предлагается уравнение:

(1)

Здесь , f₁(u), f₂(u) положительные, достаточно гладкие, монотонно убывающие к нулю при u → ∞ функции, , параметр . Асимптотический анализ уравнения (1) представлен в работе [3].

Решение задачи численного исследования уравнения (1) сопряжено с рядом трудностей.

Первая трудность заключается в том, что (1) является дифференциальным уравнением с переменным запаздыванием, поэтому непосредственное применение стандартных методов численного интегрирования невозможно: эти методы дают приближение решения лишь на некоторой последовательности точек, а для вычисления величины в уравнении (1) требуется непрерывное приближение решения. Его можно получить путем интерполяции решения по узлам, в которых решение вычисляется любым из стандартных методов.

Вторая трудность более существенная, отмеченная в частности в [2]. Она заключается в том, что уравнение (1) является жестким дифференциальным уравнением (см., например,[4]) — константа Липшица правой части его линейно зависит от . Это приводит к быстрому накоплению ошибок округления и, как следствие, неприемлемому результату уже при .

Для решения этой проблемы предложена замена переменной . Тогда уравнение (1) принимает вид:

(2)

Соответственно пересчитывается и начальное условие.

Легко видеть, что правая часть уравнения (2) ограничена равномерно по и невелика по абсолютной величине. Конечно, это не означает, уравнение (2) стало нежестким. Жесткость сохранилась, так как значения функций f₁, f₂ и , а значит и производной dv/dt, быстро изменяются при малом изменении v вблизи нуля. Однако, как выяснилось на численном эксперименте, это не слишком сильно сказывается на результате. Отчасти это явление объясняется тем, что быстрое изменение производной происходит на промежутке длины порядка , весьма малом при .

Для численного моделирования была выбрана разновидность метода Рунге-Кутты — т.н.;непрерывный метод Дормана и Принса [5]. Этот метод имеет четвертный порядок и дает непрерывное приближение решения в виде полинома четвертой степени на каждом шаге интегрирования.

Также был применен алгоритм автоматического управления длиной шага [5]. Шаг интегрирования изменяется в зависимости от скорости роста производной решения. Таким образом, на участках с быстро изменяющейся производной шаг измельчается для обеспечения заданной локальной погрешности.

Модель взаимодействия m нейронов описывается уравнением:

(3)

Параметры , - синаптический вес воздействия k-го нейрона на j-й, функционал H(u_j) обеспечивает наличие периода рефрактерности у нейрона в течение времени T_R, а является индикатором наличия медиаторов на соответствующих синапсах в течение времени 2T₁, величина T₁ — длительность спайка нейрона, — функция Хевисайда. В работе [6] рассматривались колебания в простейшей сети из трех нейронов и самоорганизация полносвязной сети в кольцо из трех множеств синхронно функционирующих элементов. Получены асмптотические формулы для временных рассогласований между спайками нейронов.

Численное интегрирование системы (3) встречается с дополнительной трудностью. Она связана с тем, что правая часть (3) является разрывной функцией. Для преодоления этого интегрирование уравнений системы останавливалось в точках разрыва и возобновлялось с новыми значениями производной.

Для моделирования был использован пакет MatLab 6.1. Моделировался один нейрон с переменным запаздыванием, однородная сеть из трех нейронов, а так же сети из большего числа нейронов (до 15).

Проведенные эксперименты подтвердили результаты асимптотического анализа. В частности, период решения уравнения (1) совпадает с асимптотическим с точностью до сотых при значении параметра . При численном исследовании сетей импульсных нейронов были обнаружены режимы самоорганизации, о которых шла речь в [6]. Также хорошо согласуются значения временных рассогласований полученные в результате численного счета с соответствующими асимптотическими формулами.

Список литературы
1. Майоров В.В., Мышкин И.Ю. Об одной модели функционирования нейронной сети // Моделирование динамики популяций. Н.Новгород, 1990. С.70–78.
2. Майоров В.В., Мышкин И.Ю. Математическое моделирование нейронов сети на основе уравнений с запаздыванием // Математическое моделирование, 1990. Т.2, №11. С.64–76.
3. Парамонов И. В. Моделирование импульсной активности нейрона с помощью дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом с переменной величиной запаздывания. // Нейроинформатика-2003. Сборник научных трудов. Ч. 2, с.36–40.
4. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. // под ред. Дж. Холла и Дж. Уатта. М., Мир, 1979.
5. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Т. 1. М., Мир, 1990.
6. Лагутина Н.С. Модель импульсного нейрона. Колебания в простейшей сети из трех нейронов. Самоорганизация полносвязной сети импульсных нейронов. // Нейроинформатика-2001. Сборник научных трудов. Ч. 1, с. 200–205.